Question

已知关于x的不等式ax^2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>-1\2}求ax^2-bx+c>0的解集

Answer 1

ax²+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>-1\2}
则：a<0，且方程ax²+bx+c=0的根为：x1=-2，x2=-1/2
由韦达定理：x1+x2=-b/a=-5/2，x1x2=c/a=1
则：b/a=5/2，c/a=1
对于不等式ax²-bx+c>0
两边同除a（a<0）得：x²-bx/a+c/a<0
即：x²-5x/2+1<0
2x²-5x+2<0
(x-2)(2x-1)<0
1/2<x<2
所以，不等式ax²-bx+c>0的解集为{x|1/2<x<2}

ps：如果是填空或选择的话直接看就可以了
方程ax²+bx+c=0到方程ax²-bx+c=0，是把x写成了-x
所以，第二个方程的根是第一个方程根的相反数
由题意得第一个方程的根是-2和-1/2，所以，第二个方程的根为2和1/2
然后注意到a<0
所以，不等式ax²-bx+c>0的解为1/2<x<2

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

由题知ax^2+bx+c <0可化为
a(x+2)(x+1/2)<0,由解集得抛物线开口向下即 a<0故有(x+2)(x+1/2)>0

比较题中两式的左端和十字相乘法则：
ax^2-bx+c >0可化为
a(x-2)(x-1/2)>0
又a<0 故有(x-2)(x-1/2)<0
所以解集为 {1/2<x<2}

参考:

已知关于X的不等式ax方+bx+c<0的解集是x<-2或x>-0.5 求ax方-bx+c>0的解集
设f(x)=ax²+bx+c
又设f(x)=0的两根为x1<x2,(若无实根则原不等式解集为全体实数or无实解)
则f(x)=a(x-x1)(x-x2)
若a>0,则f(x)<0,解集为x1<x<x2与x<-2或x>-0.5矛盾
a=0,bx+c<0与x<-2或x>-0.5矛盾
故a<0,
f(x)<0的解集是x>x2,x<x1,因解集是x<-2或x>-0.5
则x1=-2,x2=-1/2
f(x)=a(x+2)(x+1/2)=ax²+5ax/2+a
则b=5a/2,c=a
则ax方-bx+c>0
<=>ax²-5a/2x+a>0
<=>a(x-2)(x-1/2)>0(a<0)
=>1/2<x<2

Answer 3

（1/2，2）