Question

为什么一个矩阵和其逆矩阵有相同的秩?求详细解答

Answer 1

n阶矩阵A可逆，则|A|≠0，A的秩是n。A的逆矩阵B的行列式|B|=1/|A|≠0，B的秩是n。

追问

太感谢了！我还想问下当1.A矩阵的秩为n，A的伴随矩阵的秩是n。2.A矩阵的秩为n-1，A的伴随矩阵的秩是1。3..A矩阵的秩<n-1，A的伴随矩阵的秩是0,。这是为什么？

追答

A的秩是n，说明|A|≠0，由AA*=|A|E，两边都取行列式，得|A*|=|A|^(n-1)≠0，A*的秩也是n。
A的秩＜n-1，则A的所有n-1阶子式都是零，所以A的各个元素的代数余子式都是零，A*=0，A*的秩是0。
A的秩是n-1时，推导麻烦些。可以使用一个结论：AB=0，则A的秩＋B的秩≤n，其中n=A的列数=B的行数。此时AA*=0，所以A*的秩≤n-(n-1)=1。又A有n-1阶子式非零，所以A*≠0，A*的秩≥1。所以A*的秩是1。

追问

谢谢！！！！！！