Question

如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M,N,P,Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，试说明：MN与PQ互相垂直平分

Answer 1

连接PMQN,因为M,N,P,Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，根据中线定理
P、M为三角形ABD两腰中点 则PM平行等於1/2 AB Q、N为三角形ABC两腰的中点 则QN平行等於1/2AB 同理PN平行等於1/2 CD MQ平行等於1/2 CD 由於AB=CD 推出PM=MQ=QN=NP 即四边形PMQN为菱形，那麼对角线就是互相垂直平分

Answer 2

证明：连接MP，PN，NQ，QM，
∵AM=MD，BP=PD，
∴PM=12AB，
∴PM是△ABD的中位线，
∴PM∥AB；
同理NQ=12AB，NQ∥AB，MQ=12DC，
∴PM=NQ，且PM∥NQ．
∴四边形MPNQ是平行四边形．（3分）
又∵AB=DC，∴PM=MQ，
∴平行四边形MPNQ是菱形．（5分）
∴MN与PQ互相垂直平分．（6分）

Answer 3

连接MP 、MQ 、PN、QN 根据三角形中位线定理可知 PM∥QN MQ∥PN
△ABD∽△DMP 则 PM：AB=DM：AD=1：2 ；
△ACD∽△DMQ 则 QM：DC=AM：AD =1：2；
△ABC∽△QNC 则 QN：AB=CN：BC=1：2 ；
△BCD∽△PBN 则 PN：DC=BN：BC =1：2；
则 PM：AB=QM：DC =QN：AB= PN：DC
∵AB=DC ∴PM=QM =QN= PN 所以四边形PNQM为菱形
由菱形的性质可知MN⊥PQ