Question

线性代数一条关于特征值定理的证明求解

如果λ1，λ2。。。λn是矩阵A的互不相同的特征值，a1,a2,.....am分别是与之对应的特征向量，则a1,a2,.....am线性无关
求证明推导

Answer 1

设x1a1+x2a2+...+xnan=0，证明系数x1=x2=...=xn=0。
A(x1a1+x2a2+...+xnan)=λ1(x1a1)+λ2(x2a2)+...+λn(xnan)=0。
A^2(x1a1+x2a2+...+xnan)=A(λ1(x1a1)+λ2(x2a2)+...+λn(xnan))=λ1^2(x1a1)+λ2^2(x2a2)+...+λn^2(xnan)=0。
....
λ1^(n-1)(x1a1)+λ2^(n-1)(x2a2)+...+λn^(n-1)(xnan)=0。

以x1a1,x2a2,...,xnan为未知量，方程组
x1a1+x2a2+...+xnan=0
λ1(x1a1)+λ2(x2a2)+...+λn(xnan)=0
λ1^2(x1a1)+λ2^2(x2a2)+...+λn^2(xnan)=0
....
λ1^(n-1)(x1a1)+λ2^(n-1)(x2a2)+...+λn^(n-1)(xnan)=0
的系数矩阵是范德蒙特行列式，非零，所以方程组只有零解，得x1a1=0，x2a2=0，...，xnan=0，所以x1=x2=...=xn=0。

所以a1,a2,.....am线性无关。