Question

快！！！已知数列｛an｝中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1=4an＋2（n=1,2,…），a1=1

⒈设bn=an+1-2an(n=1,2,…）求证｛bn｝是等比数列；⒉设cn=an/2的n次幂，求证数列cn是等差数列；⒊求数列an的通项公式及前n项和公式.

Answer 1

s(n+1)=4an+2
sn=4a(n-1)+2
两式相减得
a(n+1)=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2an-4a(n-1)
[a(n+1)-2an]/[an-2a(n-1)]=2

所以a(n+1)-2an是以2为公比的等比数列
bn/b(n-1)=2
即bn是以2为公比的等比数列
s2=4a1+2
a1+a2=4a1+2
a2=3a1+2
a2=3*1+2=5

b1=a2-2a1
=5-2*1
=3

bn=b1*q^(n-1)
=3*2^(n-1)

[a(n+1)-2an]/[an-2a(n-1)]=2
所以a(n+1)-2an是以2为公比的等比数列
a(n+1)-2an=bn=3*2^(n-1)
a(n+1)-2an=3*2^(n-1)等式两同时除以2^(n+1)
a(n+1)/2^(n+1)-2an/2^(n+1)=3*2^(n-1)/2^(n+1)
a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=3/4
所以an/2^n是以3/4为公差的等差数列
cn=an/2^n
c(n+1)-cn=3/4
所以cn是以3/4为公差的等差数列

an/2^n=a1/2^1+(n-1)d
an/2^n=1/2+3/4(n-1)
an/2^n=(3n-1)/4
an=(3n-1)*2^(n-2)
s(n+1)=4an+2=4*(3n-1)*2^(n-2)+2
sn=4*[3(n-1)-1]*2^(n-3)+2
=(3n-4)*2^(n-1)+2

s1=1,s1也符合
所以sn=(3n-4)*2^(n-1)+2