Question

若函数f(x)＝x－1－alnx(a＜0)对任意x1,x2∈(0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4|1/x1 －1/x2|，则实数a的取...

若函数f(x)＝x－1－alnx(a＜0)对任意x1,x2∈(0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4|1/x1 －1/x2|，则实数a的取值范围？

Answer 1

f(x)=x-1-alna,求其导数为f(x)'=1-a/x，因为0<x《1（《暂时作为小于等于来理解哈！），a<0，所以
f(x)'>0,f(x)为递增函数，同样，函数y(x)=1/x也是递增函数。
假设：0〈x1<x2《1，则代入得到|f(x1)-f(x2)|《4|1/x1-1/x2|,
去掉绝对值得到 f(x2)-f(x1)《4(1/x1-1/x2),
移向得到f(x2)+4/x2《f(x1)+4/x1
设函数g(x)=f(x)+4/x,得到g(x)=x-1-alnx+4/x,
要想上式恒成立，则只需要g(x)为递减函数即可（因为前面已经设了x1<x2）
对g(x)求导得到，g(x)'=1-a/x-4/x^2《0
于是x^2-ax-4《0在（0，1]上面恒成立，画出简单的图像
只需要x=1时，x^2-ax-4《0即可，解得-3《a<0

我解答的很详细了，希望可以看得懂！

Answer 2

ls已经把我想说的答出来了，是正确的！

Answer 3

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