Question

关于为什么加减式中不能使用等价无穷小替换

教科书上有说在加减关系的时候建议不要用等价无穷小代换，通过泰勒公式也知道sinx-x应代换成1/6x^3 但是怎么也想不通上面的推导有什么问题啊，sinx和x在x趋近于0时极限都存在，如果根据极限的四则运算的话，那么两个等价无穷小的差不应该等于0吗？
而且既然加减关系的时候不能使用等价无穷小替换，为什么有时候分式的分子为多项式时有同时等价替换多项式各部分的做法？那只替换一部分可以吗？求高手指点。

Answer 1

Answer 2

简单点说，就是等价无穷小间的差对于它们本身来说是高阶无穷小，所以乘除时高阶无穷小无影响。但等价无穷小间的差做分子，对于分母来说分子可能是同阶无穷小，忽略的话就与答案不符了。
比如tanx-sinx/x^3，tanx与sinx在x趋近0时为等价无穷小，是因为他们的差对于他们是高阶无穷小（泰勒展开可知），但差对于x^3有同阶部分，所以不为0。

Answer 3

李永乐复习全书2019版 11页 等价无穷小替换与等价无穷小的充要条件
定理1.2.11(等价无穷小替换定理)有详细解释
我也是看了才顿时清楚 可以为题主解答疑惑(附 最佳回答下的评论中提到的问题) 无法发照片 只能提供位置 供解疑

Answer 4

在当单独一个乘式取极限的时候，比如lim┬(x→0)⁡〖( sinx)/x〗=1 ，这样做并没有什么问题，但实际上 〖( sinx)/x〗在不取极限的时候并不是等于1而是等于(x+1/6 x^3+o(x^5))/x=1+1/6 x^2+o(x^4)，所以局部取极限往往会忽略因为极限而成为0的无穷小项，但这些无穷小项很可能和其他无穷小项构成0/0型未定式从而共同摆脱极限为0的命运，例如：
lim┬(x→0)⁡〖(xcosx-sinx)/x^3 〗=(xcosx/x-sinx/x)/x^2
如果局部取极限
=lim┬(x→0) ( xcosx/x-lim┬(x→0)⁡〖sinx/x〗)/x^2 =lim┬(x→0) (cosx-1)/x^2 =lim┬(x→0) ( 1/2 x^2)/x^2 =1/2
结果是错的，因为当局部取极限的时候lim┬(x→0)⁡〖sinx/x〗忽略了式子中我们会在泰勒公式中称之为“余项”的无穷小量1/6 x^2+o(x^4)，而明显1/6 x^2可以与分母x^2 构成0/0型未定式，从而结果
=lim┬(x→0) (cosx-1+1/6 x^2+o(x^4))/x^2 =lim┬(x→0) ( 1/2 x^2+1/6 x^2)/x^2 =2/3
我们可以发现局部取极限造成了较大的误差，结果少了1/6，这就是局部不能用等价无穷小直接得出结果的原因

Answer 5

其实主要是为了更加接近真实值 ，减小误差，至于为什么减小误差.... ......就等高手解答吧