Question

如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________。

①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD，③AB+BD＝AC+CD ④AB-BD＝AC-CD请帮忙证明出3怎么来的，用勾股定理，
谢谢，急急急急急急急急急

Answer 1

答案填 ②，③，④。

①∠BAD＝∠ACD 不行，这是任何一个直角三角形，你作出斜边上的高都能得到的结论。

②∠BAD＝∠CAD 正确。因为AD分出两个直角三角形 △BAD和△CAD，现∠BAD＝∠CAD
则可得∠B=∠C。所以三角形ABC是等腰三角形。

③AB+BD＝AC+CD 正确。此时两腰为AB=AC。
用反证法：设 AB≠AC，不妨为 AB ＞AC ，则有AB²>AC² 。
从而 AB²-AD²> AB²-AD² ，即BD²>DC²，故得 BD>DC.。
又因为 AB ＞AC， BD>DC 所以得 AB+BD>AC+CD 与原命题条件矛盾。故③正确

④AB-BD＝AC-CD正确。证明如下：
在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD为公共高，所以 AB²-BD² = AC²-DC² = AD² （勾股定理）
利用因式分解得 (AB+BD)(AB-BD)＝(AC+CD)( AC-CD)。
但因为 AB-BD＝AC-CD，所以得 AB+BD＝AC+CD 。这就回到了条件③。因此④也是正确的。

Answer 2

自己画图看看。
1选项根本不搭边。2就不说了，三角形全等。

3：延长AB至E，延长AC至F ，使BE=BD，CF=DC。因为AB+BD=AC+DC，所以三角形AEF为等腰三角形，因为AD是高，所以当BD+DC=BC，所以BD增大时，DC缩小，又因为AB随着DB的减小而减小（因为AB平方等于AD平方加BD平方），同理，AC随着DC的增大而增大，再因为BE=BD，BF=DC，所以AB+BE=AC+CF，如果BD大于或小于DC，那么AB+BE不等于AC+CF（DB小了，AB也会小，两个小的加在一起肯定比AC加CD要小~~），所以只有当BD=DC时，AB+BE=AC+CF，所以三线合一，所以为等腰三角形。

4.只要在AB，AC上取与BD，CD相等的BE，BF就行了，接下来和上述差不多。
望采纳，谢谢，不懂鸡翼继续问我，我差不多下了，不行的话明天我也会给你回答的

Answer 3

③∵AB+BD=AC+CD
∴，两边平方得，AB²+2BD*AB+BD²=AC²+2AC*CD+CD²
而，根据勾股定理得，AB²=AD²+BD² AC²=AD²+CD²
即，转化得出，AD²+BD²+2BD*AB+BD²=AD²+CD²+2AC*CD+CD²
化简得BD²+BD*AB=CD²+AC*CD 即BD（BD+AB）=CD(CD+AC)
∵AB+BD＝AC+CD
∴得出BD=CD
直角△的两直角边相等则全等，AC=AB，∴为等腰三角形