Question

已知f(x)=log(a)(1-x)+log(a)(x+3),(a>0且a≠1)

(1)求函数f(x)的定义域、值域

(2)若函数f(x)有最小值-2，求a的值

每一问都要详细的步骤

Answer 1

（1）因为1-x>0,x+3>0,所以-3<x<1，定义域就是（-3,1）。
f(x)=log(a)[(1-x)(x+3)]，因为（1-x)(x+3)的取值范围是（0,4]，所以如果0<a<1,那么值域是[log(a)4,正无穷）。如果a>1,那么值域是（负无穷，log(a)4]。
（2）从题干可知，是第一题的第一种情况。也就是说log(a)4=-2，因此a=1/2。

追问

（1-x)(x+3)的取值范围为什么是（0,4]，我怎么就算不出来？

追答

（1-x)(x+3)不就是个普通的二次函数吗？你都知道x的取值范围了，怎么会求不出这个抛物线对应的y值的范围？

Answer 2

(1)定义域为：
1-x>0且x+3>0
-3<x<1
(2)f(x)=log(a)(1-x)+log(a)(x+3)
=log(a)[(1-x)(x+3)]
=log(a)(-x²-2x+3)
=log(a)[4-(x+1)²]
当a>1时，函数无最小值
当0<a<1，x=-1时，函数有最小值
此时f(x)=log(a)4=-2
a=1/2

追问

值域呢？

追答

函数有最小值:f(x)=2
没有最大值
所以函数的值域是：[2，+∞)