Question

数学一元二次方程问题

观察下列方程和等式寻找规律,完成问题：
①方程x^2-7x+6=0的根是x1=1,x2=6,而x^2_7x+6=(x-1)(x-6);
②方程x^2-4x-5=0的根是x1=5,x2=-1,而x^2-4x-5=(x-5)(x+1);
③方程4x^2-12x+9=0的根是x1=3/2,x2=3/2,而4x^2-12x+9=4(x-3/2)(x-3/2);
④方程3x^2+7x+4=0的根是x1=-4/3,x2=-1,而3x^2+7x+4=3(x+4/3)(x+1);
(1)规律探究:当方程ax^2+bx+c=0(a≠0)时,_________________.
(2)解决问题:根据上面材料,将下列多项式分解:①x^2-x-2;②2x^2+3x-2.
(3)拓广应用:已知,现有1×1,a×a的正方形纸片和1×a的矩形纸片各若干块,试选用这些纸片(每种纸片至少用一次)在下面拼成一个矩形(每个纸片之间既不重叠,也无空隙,拼出的图中必须保留拼图痕迹),使拼出的矩形面积为2a^2+5a+2,并标出此矩形的长和宽.
(注:x^2是指x的平方.)

Answer 1

一元一次方程

内容介绍：
方程是初中代数的重要内容，许多实际问题都可以通过列方程、解方程来解决。因此我们要认认真真地学好方程的有关知识。
本章先介绍等式的概念和等式的两条性质，复习方程的解，解方程等概念；然后学习运用等式的性质和移项法则解一元一次方程，归纳出解一元一次方程的一般步骤；最后是列方程解应用题。一元一次方程是学习其他方程和方程组的基础。
一、等式和方程
本部分知识的重点是等式的性质和运用这两性质对等式进行变形；方程的有关概念及会检验一个数是不是方程的解。
（一）知识要点：
1．等式：用等号来表示相等关系的式子叫等式。如： + = ，x+y=y+x, V=a3，3x+5=9都叫等式。而象 a+b, m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
2．等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）所得的结果仍是等式。
如： x-5=4，两边都加5得 x-5+5=4+5，即 x=9仍是等式；在这个等式两边都乘以 得， ×x=9× ，即x= ，也仍是等式，这样我们就利用了等式的两个性质解方程。
3．方程的有关概念：
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x-4=8，其中x是未知数；又如3x-2y=5其中x, y是未知数。
（2）未知数：在研究方程之前未知的数叫未知数。如5x-4=8中，x是未知数，而5，-4，8是已知数。
（3）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。例如方程2x+5=7，当x=1时，方程左边=2×1+5=7=右边，所以x=1是方程2x+5=7的解，或说x=1是方程的根。
（4）解方程：求得方程的解的过程。
4．会检验一个数是不是一个方程的解：将这个数分别代入方程的左边和右边，看是否使左边等于右边。
如，检验x=5和x=4是不是方程6x-5=2x+11的解。
当x=5时，左边=6×5-5=30-5=25，右边=2×5+11=10+11=22，∴左边≠右边，∴x=5不是原方程的解；
当x=4时，左边=4×6-5=24-5=19，右边=2×4+11=8+11=19，∴左边=右边，∴x=4是原方程的解。
5．会根据已知条件列出方程。
如：根据下列条件列出方程
（1）某数比它的4倍小8。
（2）代数式 与 x+1互为相反数。
解：（1）设某数为x，则所求方程为x=4x-8，或x+8=4x或4x-x=8。
（2） + x+1=0或 =- x-1。
6．同解方程：
（1）同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。如，2x+3=5的解是x=1，
3x+15=x+17的解也是x=1，所以这两个方程是同解方程。
（2）方程同解原理
同解原理1：方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程。
同解原理2：方程两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。
我们解方程的过程是同解过程，教材上所说的运用等式性质解方程，实质上是依据方程的同解原理解方程。
（二）例题：
例1．判断下列各式是不是方程，并说明理由：
(1) 3+5=4+4 (2) 2a+3b (3) x+2y=5
(4) 3+(-2)=8-|7| (5) x+6=3x-5
答：（1）不是方程。因为它是不含未知数的等式；
（2）不是方程。因为它不是等式，它是一个代数式；
（3）x+2y=5是方程，它是含有未知数x, y的等式。
（4）不是方程。因为它是不含未知数的等式。
（5） x+6=3x-5是方程，它是含有未知数x的等式。
注意：方程的概念有两点①是等式，②含有未知数，二者缺一不可。
例2．检验x= 是不是下列方程的解：
（1）5x+2=2 (2) 3x+5=6 (3)6x+ =4
解：（1）当x= 时，左边=5× +2= +2=5 ≠右边，
∴x= 不是原方程的解。
（2）当x= 时，左边=3× +5=2+5=7≠右边，
∴x= 不是原方程的解。
（3）当x= 时，左边=6× + =4+ =4 =右边，
∴x= 是原方程的解。
检验某数是否是方程的解可以用来验证我们解方程的过程是否正确。
例3．根据下列条件列出方程
（1）某数的8倍减去5等于它的4倍加上3；
（2）某数比它的 大7；
（3）某数与3的和的平方比它的平方大4；
（4）某数与5的差的3倍等于33；
（5）某数与-7的和的 与某数加上 的和互为相反数；
（6）某数的平方比它自身的2倍多8。
解：设某数为x，则根据条件列出方程为：
(1) 8x-5=4x+3 (2) x- x=7或x= x+7
(3) (x+3)2-x2=4 (4) 3(x-5)=33
(5) (x-7)+(x+ )=0 (6) x2=2x+8
例4．说出下列变形的依据：
(1) 2x-5=3，2x=8
(2) 3x=27，x=9
(3) -3x= ，x=-
(4) - x=4，x=-12
(5) =2，x+3=10
(6) =x+6，x-2=3x+18
解：（1）根据等式的基本性质1，2x-5+5=3+5，得2x=8
（2）根据等式的基本性质2，3x× =27× ，得x=9
（3）根据等式的基本性质2，-3x×(- )= ×(- )，得x=-
（4）根据等式的基本性质2，- x×(-3)=4×(-3)，得x=-12
（5）根据等式的基本性质2，5×( )=2×5，得x+3=10
（6）根据等式的基本性质2，3×( )=3×(x+6)，得x-2=3x+18
注意：①使用方程同解原理时注意方程两边同时进行相同的变化，不要只顾一边，忘记另一边。 ②当方程某一边是多项式时，要注意使用分配律，避免出现这样的错误：如(6)小题 =x+6两边同时乘以3得x-2=3x+6。
例5．已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，求a的值。
分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右两边相等，于是有2×(-4)+3|a|=-4-1，这是一个关于|a|的方程，可以把|a|求出来，再进一步确定a的值。
解：∵ x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，
∴ 2×(-4)+3|a|=-4-1，
∴ -8+3|a|=-5，
由等式的基本性质1得：-8+8+3|a|=-5+8，
即3|a|=3，
由等式的基本性质2得：|a|=1，∴ a=±1。

Answer 2

解：设某数为x，则根据条件列出方程为：
(1) 8x-5=4x+3 (2) x- x=7或x= x+7
(3) (x+3)2-x2=4 (4) 3(x-5)=33
(5) (x-7)+(x+ )=0 (6) x2=2x+8
例4．说出下列变形的依据：
(1) 2x-5=3，2x=8
(2) 3x=27，x=9
(3) -3x= ，x=-
(4) - x=4，x=-12
(5) =2，x+3=10
(6) =x+6，x-2=3x+18
解：（1）根据等式的基本性质1，2x-5+5=3+5，得2x=8
（2）根据等式的基本性质2，3x× =27× ，得x=9
（3）根据等式的基本性质2，-3x×(- )= ×(- )，得x=-
（4）根据等式的基本性质2，- x×(-3)=4×(-3)，得x=-12
（5）根据等式的基本性质2，5×( )=2×5，得x+3=10
（6）根据等式的基本性质2，3×( )=3×(x+6)，得x-2=3x+18
注意：①使用方程同解原理时注意方程两边同时进行相同的变化，不要只顾一边，忘记另一边。 ②当方程某一边是多项式时，要注意使用分配律，避免出现这样的错误：如(6)小题 =x+6两边同时乘以3得x-2=3x+6。
例5．已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，求a的值。
分析：已知x=-4是方程的解，所以把x=-4代入方程，左右两边相等，于是有2×(-4)+3|a|=-4-1，这是一个关于|a|的方程，可以把|a|求出来，再进一步确定a的值。
解：∵ x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解，
∴ 2×(-4)+3|a|=-4-1，
∴ -8+3|a|=-5，
由等式的基本性质1得：-8+8+3|a|=-5+8，
即3|a|=3，
由等式的基本性质2得：|a|=1，∴ a=±1。

Answer 3

1:ax^2+bx+c=0(a≠0).
a(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a=0
a[(x+b/2a)-（√b^2-4ac）/2a][[(x+b/2a)+（√b^2-4ac）/2a]=0

2:①x^2-x-2=(x-2)(x+1)
②2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)

3:S=2a^2+5a+2=(2a+1)(a+2)
则此矩形的长和宽为2a+1,a+2