Question

若定义在【-2,2】上的奇函数f（x）满足当x∈（0,2】时，f（x）=3x的次方/9x的次方+1

一，求f（x）在【-2,2】上的解析式；二，判断f（x）在（0,2）上的单调性并证明

Answer 1

(1）设x∈[-2,0），则-x∈(0,2] 因为f(x)=3^x/(9^x+1)则f(-x)=3^(-x)/(9^-x+1)=3^x/(9^x+1)

所以f(x)=-f(-x)=-3^x/(9^x+1),所以当x∈(0,2]时,f(x)=3^x/(9^x+1) 当x=0时 f(x)=0, 当x∈[-2,0）f(x)=-3^x/(9^x+1)(2)解析：∵当x∈(0,2]时,f(x)=3^(-x)+1
F’(x)=-3^(-x)ln3<0
∴当x∈(0,2]时,f(x)单调减
(3)若要有实数解，则当函数f(x)-λ在区间两端点积小于0时，则至少有一个零点
x=0为分段函数的分界点
分别代入

(f(-2)-λ)(f(0)-λ)<0,(-9/82-λ)(-1/2-λ)<0,解得：-1/2<λ<-9/82
(f(0)-λ)(f(2)-λ)<0,(1/2-λ)(9/82-λ)<0 解得：9/82<λ<1/2
当f(-2)-λ=0时或f(2)-λ=0,则λ=-9/82，或λ=9/82
f(0)上有两个函数值，f(0)-λ不能为0
所以，
λ的取值为：(-1/2,-9/82]或[9/82,1/2)

Answer 2

在[-2,0)上时有,x1>x2>0,则, 0<-x1<-x2
f（x）是奇函数, f（x）= - f（-x）
f（x）= - f（-x）=-[3^-x/(3^-2x+1)]= -3^x/(3^2x+1)
所以f（x）在【-2,2】上的解析式为:
{ (1),3^x/(3^2x+1), x∈（0,2】,(2) ,0, x=0,(3), -3^x/(3^2x+1),[-2,0) }
f（x）在（0,2）上有x2>x1>0
f（x1）-f（x2）=3^x1/(3^2x1+1)-3^x/2(3^2x2+1)
={[(3^x2-3^x1)(3^(x1+x2)-1]}/[(3^2x1+1)(3^2x2+1)]>0
又x∈（0,2】,x2>x1>0,有(3^2x1+1)>0,(3^2x2+1)>0,3^x2-3^x1>0,3^(x1+x2)-1>0
f（x1）-f（x2）>0
f（x1）>f（x2）
f（x）在（0,2）是减函数