Question

这几道定积分证明题麻烦高手解答并分析一下思路

Answer 1

14、由于1/(1+x^p)<1
∫[0→1] 1/(1+x^p) dx<∫[0→1] 1 dx=1
另一方面：
∫[0→1] 1/(1+x^p) dx
=∫[0→1] (1+x^p-x^p)/(1+x^p) dx
=∫[0→1] [1-x^p/(1+x^p)] dx
=1 - ∫[0→1] x^p/(1+x^p) dx
>1 - ∫[0→1] x^p dx
=1 - [1/(p+1)]x^(p+1) |[0→1]
=1 - 1/(p+1)
=p/(p+1)

因此：p/(p+1) < ∫[0→1] 1/(1+x^p) dx < 1

15、16、17其实差不多的，都是许瓦兹不等式证明，15、16两边平方后就是许瓦兹不等式，17就是许瓦兹不等式。

下面证明许瓦兹不等式：
∫[a→b] f²(x)dx∫[a→b] g²(x)dx≥[∫[a→b] f(x)g(x)dx]²
证明：构造函数h(t)=t²∫[a→b] f²(x)dx + 2t∫[a→b] f(x)g(x)dx + ∫[a→b] g²(x)dx
由于定积分是一个常数，因此这个函数是一个二次函数
h(t)=∫[a→b] [t²f²(x)+2tfx)g(x)+g²(x)] dx 注意到被积函数是完全平方
=∫[a→b] [tf(x)+g(x)]² dx
≥0
由于二次函数h(t)≥0，可得其判别式Δ≤0
即：4t²[∫[a→b] f(x)g(x)dx]² - 4∫[a→b] f²(x)dx∫[a→b] g²(x)dx ≤ 0
上式整理后即为所得。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮。

Answer 2

许瓦兹不等式的经典证法

追问

什么经典证法？你能否说的详细一点，谢谢

追答

楼上给出了一种，另一种是用二重积分做，估计你还没学到。