Question

设函数f(x)=1/4x^4+1/3ax^3+1/2bx^2+2x在x=-1处取得极值，又在x=c(c≠-2)处有f'(c)=0，但在x=c处无极值，

求a、b的值

答案：当c=1时 a=0,b=-3；当c=-1时，a=4.b=5
求解释怎样可以说明-2也是一阶导数f'(x)=0的一个解

Answer 1

f'(x)=x³+ax²+bx+2
∵f(x)在x=-1处取得极值
∴f'(-1)=0 ,f'(x)可以分解出(x+1）
∵f'(c)=0,但在x=c处无极值
∴x=c是f'(x)的不变号零点
即f'(x)可以分解出因式(x-c)²
∴f'(x)=（x+1)(x-c)²
=(x+1)(x²-2cx+c²)
=x³+(1-2c)x²+(c²-2c)x+c²
与f'(x)=x³+ax²+bx+2
∴c²=2,a=1-2c,b=c²-2c
∴c=√2,a=1-2√2,b=2-2√2
或c=-√2,a=1+2√2,b=2+2√2

Answer 2

上面确定是原题？那答案是错的。
f'(x)=x^3+ax^2+bx+2，由于f(x)在x=-1有极值，则f'(-1)=0，代入得
-1+a-b+2=0，于是b=a+1。故f'(x)=x^3+ax^2+(a+1)x+2=(x+1)(x^2+ax+2)。
再由条件f'(c)=0但c不是极值点，于是必有x^2+ax+2是平方式，即
a^2-8=0。（注意：由题目条件c不可能是-1，因此f'(x)=0必有三个实根。
若有三个不同的实根，则这三个实根都是f(x)的极值点，不满足题意，因此
必是x=-1是单重根，x=c是二重根，即得a^2-8=0)。
解得a=2根号(2)或者a=-2根号(2)，对应的
b=2根号(2)+1或者a=-2根号(2)+1。

Answer 3

不是导数=0，就有极值的。
-2是f'(x)=0的一个解，并不一定说明x=-2处有极值。
举个例子吧：
y=(x+1)³+1
y'=3(x+1)²
x=-1时，y'=0
但些处不是极值点，是拐点