Question

设A为3阶矩阵，a1，a2为A的分别属于特征值－1和1的特征向量，a3满足Aa3＝a2＋a3。证明a1，a2，a3线性无关

Answer 1

证明: 设 k1a1+k2a2+k3a3=0 (1)
等式两边左乘A, 得 k1Aa1+k2Aa2+k3Aa3=0
由已知得 -k1a1+k2a2+k3(a2+a3)=0
即有 -k1a1+(k2+k3)a2+k3a3=0 (2)

(1)-(2): 2k1a1-k3a2 = 0
因为 a1,a2为A的分别属于特征值-1和1的特征向量,
故 a1,a2 线性无关
所以 k1=k3=0
代入(1), 由a2是特征向量不等于0 知 k2 = 0
故 a1,a2,a3线性无关.

Answer 2

因为a1，a2为A的属于不同特征值的特征向量

所以a1,a2线性无关
假设a1，a2，a3线性相关，则a3能用a1,a2线性表示
设a3=k1a1+k2a2
则Aa3=k1Aa1+k2Aa2=-k1a1+k2a2
又Aa3=a2+a3=(k2+1)a2+k1a1
联立得2k1a1+a2=0
a1与a2线性相关，矛盾
所以a1，a2，a3线性无关