Question

高等数学 微分中值定理及导数应用 课后题

第10题
若x1,x2>0,试证明,至少存在一点ζ在x1,x2之间 。。。

Answer 1

把结论的等式两边同除以x1x2，得e^(x2)/x2-e^(x1)/x1=(1-ξ)e^ξ×(1/x2-1/x1)，e^x/x的导数是(x-1)e^x/x^2，1/x的导数是-1/x^2，所以选择函数f(x)=e^x/x，g(x)=1/x，在区间[x1,x2]上使用柯西中值定理即可得到结论。
证明：设f(x)=e^x/x，g(x)=1/x，x∈[x1,x2]，则f(x),g(x)在(x1,x2)内连续在[x1,x2]上可导，由柯西中值定理，至少存在一点ξ∈(x1,x2)，使得[f(x2)-f(x1)]/(g(x2)-g(x1)=f'(ξ)/g'(ξ)，整理即得x1e^x2-x2e^x1=(1-ξ)e^ξ(x1-x2)