Question

判断下列函数的奇偶性与单调性，并证明。 y=ln[（1-x）/（1+x）]

ps：设a，b，c都是不等于1的正数，且ab≠1，求证a㏒c b=b㏒c a
a㏒c b=b㏒c a意思是a的㏒以c为底b的对数的次方=b的㏒以c为底a的对数的次方

Answer 1

题一：解：（1）由题意1-x /1+x ＞0，解得-1＜x＜1，所以函数的定义域是（-1，1）,关于原点对称，且f(-x)=(ln1+x)/(1-x) =-ln(1-x)/(1+x)=-f(x)，故函数是奇函数；
（2）此函数在定义域上是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2，f(x1)-f(x2)=ln(1-x1)/(1+x1)-ln(1-x2)/(1+x2)
=ln[(1-x1)(1+x2)]/[(1-x2)(1+x1)]
由于x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2，∴1-x1＞1-x2＞0，1+x2＞1+x1＞0，可得
(1-x1)(1+x2)/(1-x2)(1+x1)＞1，
所以ln[(1-x1)(1+x2)]/[(1-x2)(1+x1)＞0
即有f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
故函数在定义域上是减函数

题二答案请追问，一下打完字数多了 百 度 不让通过的。
望采纳。

追问

嗯，谢谢，下面的呢？

追答

第二题的方法不止一种，可以用反证法，不过太麻烦，我推荐下面这种方法。
解：设b=c^m， a=c^n
则a㏒cb=a㏒c c^m=a^m=c^mn
b㏒ca=b㏒c c^n=b^n=c^mn
∴a㏒cb=b㏒ca得证

望采纳，若不懂，请追问。

追问

嗯，谢谢。

追答

不客气，数学的学习不能靠盲目的做题（当然也要做一定量的题目咯），要学会自己总结归纳，那样才能成为真正的高手~~。

Answer 2

1. f(x)=ln[(1-x)/(1+x)]=ln(1-x)-ln(1+x) , f(-x)=ln[(1+x)/(1-x)]=ln(1+x)-ln(1-x)=-f(x)  所以函数为奇函数

2. 在y=ln[(1-x)/(1+x)]中，由(1-x)/(1+x)>0得-1<x<1

   设-1<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=(1-x2)/(1+x2)-(1-x1)/(1+x1)<0,所以函数单调减