Question

已知圆C经过点A（-2,0），B（0,2），且圆心C在直线y=x上，又直线l:y=kx+1与圆C相交于P,Q两点。

若过点（0,1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M,N两点，求四边形PMQN面积的最大值。（用参系方程的方法做）

Answer 1

已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（I）求圆C的方程；
（II）若
OP•
OQ=-2，求实数k的值；
（III）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（-2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以(a+2)2+a2=
a2+(a-2)2=r
解得a=0，r=2，…（2分）
所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分）
（II）方法一：因为OP•
OQ=2×2×cos＜
OP，
OQ＞=-2，…（6分）
所以cos∠POQ=-
12，∠POQ=120°，…（7分）
所以圆心到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，…（8分）
又d=
1k2+1，所以k=0．…（9分）
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为y=kx+1x2+y2=4​，代入消元得（1+k2）x2+2kx-3=0．…（6分）
由题意得：△=4k2-4(1+k2)(-3)＞0x1+x2=
-2k1+k2x1•x2=
-31+k2​…（7分）
因为OP•
OQ=x1•x2+y1•y2=-2，
又y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1•x2+k(x1+x2)+1，
所以x1•x2+y1•y2=-31+k2+
-3k21+k2+
-2k21+k2+1=-2，…（8分）
化简得：-5k2-3+3（k2+1）=0，
所以k2=0，即k=0．…（9分）
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有d12+d2=1，…（10分）
又根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2•
4-d2，|MN|=2•
4-d12，…（11分）
而S=
12•|PQ|•|MN|，即
​S=
12×2×
4-d12×2×
4-d2=2
16-4(d12+d2)+d12•d2=2
12+d12•d2≤2
12+(
d12+d22)2=2
12+
14=7，​…（13分）
当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
方法二：设四边形PMQN的面积为S．
当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时S=
12•2
3•4=4
3．…（10分）
当直线l的斜率k≠0时，设l1：y=-
1kx+1
则y=kx+1x2+y2=4​，代入消元得（1+k2）x2+2kx-3=0
所以△=4k2-4(1+k2)(-3)＞0x1+x2=
-2k1+k2x1•x2=
-31+k2​|PQ|=
1+k2|x1-x2|=
1+k24k2+12k2+121+k2=
1+k216k2+121+k2
同理得到|MN|=
1+
1k216
1k2+121+
1k2=
1+k212k2+161+k2．…（11分）
​S=
12•|PQ|•|MN|=
12•
(1+k2)
(16k2+12)(12k2+16)(1+k2)2=
12•
16(4k2+3)(3k2+4)1+k2=
2
12k4+25k2+121+k2=2
12(k4+2k2+1)+k2k4+2k2+1​
=2
12+
k2k4+2k2+1=2
12+
1k2+2+
1k2…（12分）
因为k2+2+
1k2≥2+2
k2•
1k2=4，
所以 S≤2
12+
14=2×
72=7，…（13分）
当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7

Answer 2

设圆的方程为
x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆心C在直线y=x上
∴D=E
将点A（-2,0），B（0,2）代入
4-2D+F=0
4+2D+F=0
解得：F=-4,D=E=0
∴圆的方程为x²+y²=4
设直线l:y=kx+1的参数方程为
｛x=tcosθ,y=1+tsinθ (θ为倾斜角）
代入x²+y²=4
t²cos²θ+(1+tsinθ)²=4
即t²+2tsinθ-3=0
设l与圆交点P,Q对应的参数分别为
t1,t2,那么t1+t2=-2sinθ,t1t2=-3
∴|AB|=|t1-t2|=√[(t1+t2)²-4t1t2]
=√[4sin²θ+12]
∵l1⊥l2
l1的参数方程为
{x=tcos(θ+π/2),y=1+tsin(θ+π/2)
设l1与圆交点M,N对应的参数分别为t3,t4
∴
同理得到
|CD|=√[4sin²(θ+π/2)+12]=√[4cos²θ+12]
四边形PMQN面积
S=1/2*|AB|*|CD|
=2√[(sin²θ+3)(cos²θ+3)]
=2√(sin²θcos²θ+12)
=2√[(sin2θ)/4+12]
≤2√(49/4)=7
当sin2θ=1，θ=45º时，S取得最大值7