设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明存在一点ξ∈(0,1),使得2f(ξ)+ξf'(ξ)=0
证明：令g(x)=x^2，G(x)=g(x)*f(x)。
因为f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导，且g(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导，
那么G(x)=g(x)*f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导。
且G(x)'=(g(x)*f(x))'=(x^2*f(x))'
=x^2f'(x)+2xf(x)
而G(0)=g(0)*f(0)=0*f(0)=0
G(1)=g(1)*f(1)=g(1)*0=0，
即G(0)=G(1)，
那么在(0,1)内存在一点ξ，使G(x)'=0
即G(ξ)'=0
ξ^2f'(ξ)+2ξf(ξ)=0，又ξ≠0，则ξf'(ξ)+2f(ξ)=0
扩展资料：
1、罗尔中值定理的几何意义
若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
2、罗尔中值定理的证明
（1）若函数f(x)在区间(a,b)上连续且可导，并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=A，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)'=0。
（2）若函数f(x)在区间(a,b)上连续且可导，并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=+∞(-∞)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)'=0。
（3）若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且可导，并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=A，则至少存在一个ξ∈(-∞,+∞)，使得f(ξ)'=0。
（4）若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且可导，并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=+∞(-∞)，则至少存在一个ξ∈(-∞,+∞)，使得f(ξ)'=0。
参考资料来源：百度百科-罗尔中值定理
g(1)=1*f(1)=0=g(0),
g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,
由罗尔中值定理,存在一点ξ∈(0,1),使得
0=g'(ξ)=2ξf(ξ)+ξ^2f'(ξ)=ξ[2f(ξ)+ξf'(ξ)],
而ξ∈(0,1),不为0.所以,有
0=2f(ξ)+ξf'(ξ)
命题得证.
则F(0)=0,F(1)=0
F'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)
由洛尔定理，存在一点ξ，使得F'(ξ)=0,0<ξ<1
约掉一个ξ，就是结论
