Question

已知函数f(x)=a^x-xlna,其中a属于(1,e]. 1，讨论fx单调性 2.求证:对任意x1

已知函数f(x)=a^x-xlna,其中a属于(1,e]. 1，讨论fx单调性
2.求证:对任意x1,x2属于[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|<=e-2

Answer 1

1. f'(x)=a^x lna-lna=lna*(a^x-1)
因为a属于(1,e),所以lna>0,
当x>0时，f'(x)>0,单调增
当x<0时，f'(x)<0,单调减。
f(0)=1为极小值点

2. 由上面的讨论，
在[-1, 1], 最小值点为f(0)=1
最大值必在端点上
f(-1)=1/a+lna
f(1)=a-lna
g(a)=f(-1)-1=1/a+lna-1, g'(a)=-1/a^2+1/a=1/a*(1-1/a)>0, g(a)单调增, g(a)的最大值为当a=e时，g(e)=1/e
h(a)=f(1)-1=a-lna-1, h'(a)=1-1/a>0, h(a)单调增，h(a)的最大值为a=e时，h(a)=e-2
因为e-2>1/e
所以f(x)的最大值与最小值的差最多为e-2
即结论成立。