Question

问两道高一数学题，请用必修一的知识帮忙解答

（1）已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x-2)为偶函数，且f(3)=5，则f(2001)= （2）设x1与x2分别是实系数方程ax2（意为a乘x的平方）+bx+c=0和 -ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2,x1≠0,x2≠0，求证a/2x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1和x2之间

Answer 1

1) f(2001)=f(1)=5
g(x)=g(-x)因为它是偶函数，所以f(x-2)=f(-x-2), 又因为f(x)是奇函数，得f(x)=-f(-x），
因而f(x+8)=-f(-x-8)=-f(x+4)=f(-x-4)=f(x)，所以f(x)周期是8，得 f(2001)=f(1)，接下来可以推出f(1)=f(3)=5
2）由题意，ax1^2+bx1^2+c=0, -ax2^2+bx1+c=0
现在我们令f(x)=a/2x^2+bx+c,那么只需证明f(x1)和f(x2)： 一个大于0，一个小于0即可
f(x1)=a/2x1^2+bx1+c=-a/2x1^2
同理f(x2)=3a/2x2^2，这样f(x1)和f(x2)符号相反，说明必然有一个介于两者之间的数x3,使得f(x3)=0,证毕

Answer 2

(1)g(x)是偶函数，所以g(x)=g(-x)
即f(x-2)=f(-x-2)=-f(x+2)
得f(x)=-f(x+4)
f(x+4)=-f(x)
由此得f(x+4n)=(-1)^nf(x)
于是f(2001)=f(1+4*500)=f(1)=-f(-1)=f(3)=5
(2)令f(x)=a/2x2+bx+c,f(x_1)=a/2(x_1)^2+bx_1+c=(ax_1^2+2bx_1+2c)/2=-ax_1^2/2
f(x_2)==(ax_2^2+2bx_2+2c)/2=3ax_2^2/2
f(x_1)f(x_2)=-3a^2x_1^2x_2^2/4<0
所以f(x)=0有一根介于x1和x2之间
唯一性待续

Answer 3

本人才上中学