Question

设L为椭圆 x＾2除以4加上y＾2除以3等于1，其周长为a，则曲线积分∮（3x＾2＋4y＾2－2）ds

Answer 1

解：因为椭圆方程为
x^2/4+y^2/3=1
也即3x^2+4y^2=12
则曲线积分∮（3x＾2＋4y＾2－2）ds
=∮（12－2）ds
=10∮ds
=10a
不明白请追问。

追问

这类曲线积分中ds与dx和dy用什么不同，遇到这类题如何下手，是不是针对曲线积分中的ds指的是曲线的周长

追答

ds=√[(dx)^2+(dy)^2]=√(1+y'^2)dx=√[1+(1/y')^2]dy
ds是弧微分，与横坐标的微分dx和纵坐标的微分dy都不同。
一般dx和dy这样的坐标积分都比较好解，因为可以把dy换成y'dx的形式，然后只对x进行积分。
而弧微分ds也可以通过ds=√(1+y'^2)dx化成只含dx的形式，然后再对x进行积分。

追问

你 能对这道题的ds的具体步骤解答一下吗

追答

这道题的ds是可以化成dx的，但是这是一个椭圆积分，没有解析解，化出来后也无法直接积出。所以本题才说椭圆的周长是a。我们知道椭圆的面积是πab，但是椭圆的周长却没有解析解，只有近似解。椭圆周长的近似解网上都有，表达式也很多，但只是近似。

追问

我说的是针对这道题解题思路是什么，如何将ds进行替换求解，你的解题过程是什么

追答

你没有看明白我的意思。这道题本身只能巧解，主要考察对封闭曲线积分几何意义的理解。对曲线积分而言，被积函数上的坐标值必须满足曲线方程，所以才有3x＾2＋4y＾2－2=12-2=10。而∮ds表示对每段微弧进行积分，也就是每段微弧长度相加，自然就表示封闭曲线的周长。
3x^2+4y^2=12
6x+8yy'=0
y'=-3x/(4y)
ds=√(1+y'^2)dx=√[1+9x^2/(16y^2)]dx=√[1+9x^2/(48-9x^2)]dx=√[1+3x^2/(16-3x^2)]dx
如果直接对ds进行替换，得到的是
∮（3x＾2＋4y＾2－2）ds=10∮ds=10∮√[1+3x^2/(16-3x^2)]dx
=20∫(0,2) √[1+3x^2/(16-3x^2)]dx+20∫(2,0) √[1+3x^2/(16-3x^2)](-dx)
=40∫(0,2) √[1+3x^2/(16-3x^2)]dx
下面已经积不出来了。