Question

如图,在等边三角形ABC中,AO是∠BAC的平分线,点D为AO上一点,以CD为一边

如图,在等边三角形ABC中,AO是∠BAC的平分线,点D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边三角形CDE，连接BE，求证：AD=BE

Answer 1

证明：
∵等边△ABC、等边△CDE
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90
∵∠ACD＝∠ACB-∠BCD，∠BCE＝∠DCE-∠BCD
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE （SAS）
∴AD＝BE

Answer 2

（1）证明：因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，则∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO，即∠DCA=∠BCE。所以△ACD≌△BCE，故AD=BE。
（2）由△ACD≌△BCE，推出∠DAC=∠CBP=1/2∠BAC=1/2×60°=30°。
由∠CBP=2∠BCP，推出∠BCP=1/2×30°=15°，∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-30°-15°=135°
在△BCP中，由正弦定理得出CP/sin30°=BC/sin135°=8/(√2/2)=8√2。推出CP=8√2×sin30°=4√2=CQ。
且∠CPQ=∠CBP+∠BCP=30°+15°=45°。
因为CP=CQ，所以△CPQ为等腰三角形，∠Q=∠CPQ=45°，故∠PCQ=180°-∠Q-∠CPQ=90°，即△CPQ为等腰直角三角形。因此，PQ=√2CP=√2×4√2=8，EQ=PQ-PE=8-3=5。