Question

设f(x)定义域为D,若满足;(1)f(x)在D内是单调函数，

设f(x)定义域为D,若满足;(1)f(x)在D内是单调函数；（2）存在[a,b]是D的子集使f(x)在x∈[a,b]值域为[a.b],则称f(x)为D上的闭函数。
证明y=-x³为闭函数，求区间【a,b】
若y=k+根号下x（k<0）是闭函数，求k范围

急~~

Answer 1

要使f(x)为闭函数，必须使f(x)=x有两个或者两个以上实根
(1)、
函数y=f(x)=-x³定义域为：R
令x1>x2，则
f(x1)-f(x2)
=-(x1)³-[-(x2)³]
=(x2)³-(x1)³
=(x2-x1)[(x2)²+x1x2+(x1)²]
<0
∴f(x)=-x³为R上的减函数
-x³=x
x-x³=0
x(1+x)(1-x)=0
x=0或x=-1或x=1
∵存在两个以上实根
∴存在子集使f(x)在x∈[a,b]值域为[a.b],
∴区间为[-1，1]

(2)、函数y=f(x)=k+√x为闭函数
∴k+√x=x有两个或两个以上实根
√x=x-k
x=x²-2kx+k²
x²-(2k+1)x+k²=0
△=[-(2k+1)]²-4*1*k²
=4k²+4k+1-4k²
=4k+1
>0
∴k>-1/4
∵k<0
∴-1/4<k<0