Question

∫［2e^x√（1－e^2x）］dx

Answer 1

令u = √[1 - e^(2x)]，x = (1/2)ln(1 - u²)，dx = u/(u² - 1) du
∫ 2e^x√[1 - e^(2x)] dx
= ∫ 2e^ln√(1 - u²) * u * u/(u² - 1) du
= - ∫ 2√(1 - u²) * u²/(1 - u²) du
= - 2∫ u²/√(1 - u²) du，令u = sinθ，du = cosθ dθ
= - 2∫ sin²θ/|cosθ| * (cosθ dθ)
= - 2∫ (1 - cos2θ)/2 dθ
= (1/2)∫ cos2θ d(2θ) - ∫ dθ
= (1/2)sin2θ - θ + C
= sinθcosθ - θ + C
= u√(1 - u²) - arcsin(u) + C
= √[1 - e^(2x)] * √[1 - (1 - e^(2x))] - arcsin[√(1 - e^(2x))] + C
= e^x√[1 - e^(2x)] - arccos(e^x) + C
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sinθ = u = √[1 - e^(2x)] ==> θ = arcsin√[1 - e^(2x)]
cosθ = √(1 - u²) = √[1 - (1 - e^(2x))] = √(e^x)² = e^x ==> θ = arccos(e^x)

Answer 2

令e^x=sint