Question

已知函数f（x）＝x2＋（lga＋2）x＋lgb满足f（－1）＝－2，且对一切实数x，都有f(x)大于等于2x

求f(x)的最小值，为什么(lga)^2-4lgb<=0？

Answer 1

解：因为f（－1）＝－2
所以－2＝1-lga-2+lgb
lga-lgb=1
a/b=10
对一切实数x，都有f(x)大于等于2x，
所以f(x)-2x=x2+(lga)x+lgb>=0恒成立（函数x2+(lga)x+lgb的图像开口向上，且与x轴没有交点）
所以
根据根的判别式，（△≤0）得(lga)^2-4lgb<=0
(1+lgb)^2-4lgb<=0
(1-lgb)^2<=0
lgb=1
b=10
a=100f（x）＝x2＋（lg100＋2）x＋lg10=x2＋（2＋2）x＋1=x2＋4x＋1=（x+2）^2-3所以f(x)的最小值为-3

Answer 2

f（-1）＝1-（lga＋2）＋lgb=-2，lgb-lga+1=0，lg（b/a）= -1，b/a=1/10， a =10 b
f（0）＝lgb≥0，b≥1，则a= 10 b≥10
函数f（x）的图像开口向上，所以有最小值，最小值在顶点
f（x）＝x2＋（lga＋2）x＋lgb=（x+1/2*( lga＋2)）^2-1/4*( lga＋2)^2＋lgb
f(x)的最小值=-1/4*( lga＋2)^2＋lgb
当a=10, b=1时，f(x)的最小值= －1/4*( lg10＋2)^2＋lg1=－9/4
(lga)^2-4lgb＝(lg10 b)^2-4lgb＝(1+lgb)^2-4lgb=(1-lgb)^2≥0,不可能<=0