Question

一道简单的换元积分法定积分证明题

如图所示第27题

Answer 1

以上，请采纳。

Answer 2

27 I = ∫<下0, 上π> xf(sinx)dx
= ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx + ∫<下π/2, 上π> xf(sinx)dx
后者令 x = π-u， 则
I = ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx + ∫<下π/2, 上0> (π-u)f(sinu)(-du)
= ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx + ∫<下0, 上π/2> (π-u)f(sinu)du，
定积分与积分变量无关， 后者将 u 换为 x
I = ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx + π∫<下0, 上π/2> f(sinx)dx
- ∫<下0, 上π/2> xf(sinx)dx
I = π∫<下0, 上π/2> f(sinx)dx

追问

这步转化是怎么得出来的呢，为什么可以拆分成两个0到π/2的定积分之和呢

追答

公式 2 对的。公式 1 对吗？ 有此公式吗 ？哪儿来的 ？

Answer 3

当然不能了。对x积分，怎么可以随便将x当做常数放到积分符号外面呢。
∫cos⁵xdx
=∫(1-sin²x)²d(sinx)
=∫(sin⁴x-2sin²x+1)d(sinx)
=(1/5)sin⁵x-(2/3)sin³x+sinx +C

追问

啊咧？第27题