Question

如图甲，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，

如图甲，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A 为公共顶点，角BAC=角AGF=90度，它们的斜边长为2，若三角形ABC固定不动，三角形AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC 的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E 不与点C重合），设BE=y CD=x
⑴请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明
⑵求y与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围
⑶以三角形ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图乙）在边BC 上找一点D ，使BD=CE，求出D的坐标，并通过计算验证BD的平方+CE的平方=DE的平方
⑷在旋转过程中，⑶中的等量关系BD的平方+CE的平方=DE的平方是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由

Answer 1

(1),两对相似而不全等的三角形是:△ABE∽△ADC,△ABE∽△ADE
证明:由已知得∠ABC=∠ACB=∠DAE=45°
∠ADE=∠ ABC+∠ BAD=45°+∠ BAD
∠BAE=∠DAE+∠ BAD=45°+∠ BAD
∠ADE=∠BAE,∠ABC=∠ACB=45°
所以△ABE∽△ADC
(2),由△ABE∽△ADC得
BE/AC=AB/DC,y/AC=x/AB,AB=AC= √2
y=2/x,(0<x ≤2)
(3),y=2/x
BE*DC=2,BD=CE,由对称性可知:BE=DC,DE=2OE
BE=DC=√ 2
OD=OE=BE-OB=√ 2-1
D(1-√ 2,0)
CE=DC-2OE=√ 2-2(√ 2-1)=2-√ 2
BD^2+CE^2=2*CE^2=2*(2-√ 2)^2=12-8√ 2
DE^2=(2OE)^2=4OE^2=4(√ 2-1)^2=12-8√ 2
BD^2+CE^2=DE^2
(4),在旋转过程中,BD^2+CE^2=DE^2始终成立(关键是作对称B点关于AF对称点M)
在∠FAG内作∠MAD=∠BAD,并在AM上取AM=AB,连接DM,ME,则△ABD≌△ADM
BD=DM,AB=AM,∠ABC=∠AMD=45°
∠BAD+∠EAC=45°,∠MAD+∠MAE=45°,又因∠MAD=∠BAD
所以∠EAC=∠MAE
因AM=AB=AC,∠EAC=∠MAE,AE=EA
△AME≌△ACE(SAS)
ME=EC,∠AME=∠ACE=45°
所以,∠DME=∠AMD+∠AME=45°+45°=90°
△DME是直角三角形,则有,DE^2=MD^2+ME^2,MD=DB,ME=EC
DE^2=BD^2+CE^2(证毕)

Answer 2

(1),两对相似而不全等的三角形是:△ABE∽△ADC,△ABE∽△ADE
证明:由已知得∠ABC=∠ACB=∠DAE=45°
∠ADE=∠ ABC+∠ BAD=45°+∠ BAD
∠BAE=∠DAE+∠ BAD=45°+∠ BAD
∠ADE=∠BAE,∠ABC=∠ACB=45°
所以△ABE∽△ADC
(2),由△ABE∽△ADC得
BE/AC=AB/DC,y/AC=x/AB,AB=AC= √2
y=2/x,(0<x ≤2)
(3),y=2/x
BE*DC=2,BD=CE,由
可知:BE=DC,DE=2OE
BE=DC=√ 2
OD=OE=BE-OB=√ 2-1
D(1-√ 2,0)
CE=DC-2OE=√ 2-2(√ 2-1)=2-√ 2
BD^2+CE^2=2*CE^2=2*(2-√ 2)^2=12-8√ 2
DE^2=(2OE)^2=4OE^2=4(√ 2-1)^2=12-8√ 2
BD^2+CE^2=DE^2
(4),在旋转过程中,BD^2+CE^2=DE^2始终成立(关键是作对称B点关于AF对称点M)
在∠FAG内作∠MAD=∠BAD,并在AM上取AM=AB,连接DM,ME,则△ABD≌△ADM
BD=DM,AB=AM,∠ABC=∠AMD=45°
∠BAD+∠EAC=45°,∠MAD+∠MAE=45°,又因∠MAD=∠BAD
所以∠EAC=∠MAE
因AM=AB=AC,∠EAC=∠MAE,AE=EA
△AME≌△ACE(SAS)
ME=EC,∠AME=∠ACE=45°
所以,∠DME=∠AMD+∠AME=45°+45°=90°
△DME是直角三角形,则有,DE^2=MD^2+ME^2,MD=DB,ME=EC
DE^2=BD^2+CE^2