Question

高数问题：设f(x)在[a,b]上有二阶导数且f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0,证明：

在(a,b)内存在两点q,t,使f(q)=0,f''(t)=0
请给出详细证明，谢谢！！！

Answer 1

既然f(x)有二阶导数，说明f(x)是连续光滑的。
既然f'(a)f'(b)>0,且f(a)=f(b)=0,说明图像在这两点同时递增或者同时递减。因此不管是哪种情况都需要图像在a，b点之间由0到正再到零再到负再到0，或者由0到负再到0再到正再到0，所以之间必然有一点q满足f(q)=0.且存在2个点，(a,q)内的t1和(q,b)内的t2，使得f'(t1)=f'(t2)=0.因此必然存在(t1,t2)内的一点t满足f''(t)=0

Answer 2