Question

已知数列{an}满足Sn+an=2n+1 1.写出a1,a2,a3,并推测an的表达式 2.用数

已知数列{an}满足Sn+an=2n+1
1.写出a1,a2,a3,并推测an的表达式
2.用数学归纳法证明

Answer 1

(1) a1＝3/2 , a2＝7/4 , a3＝15/8 ,
猜测 an＝2－ 1/2^n
(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；
②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－1/2^k ,
当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,
且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－1/2^k , ak＋1＝2－1/2^k+1 ,
即当n＝k＋1时,命题成立.
根据①②得n∈N+ , an＝2－1/2^n 都成立