Question

复数项级数绝对收敛可以推出它的虚部和实部也绝对收敛吗？

Answer 1

是的，复数项级数∑Wn＝∑(un+ivn)，如果∑Wn绝对收敛，即∑|wn|=∑√(un²+vn²)收敛，
因为|un|≤√(un²+vn²)，所以由正项级数的比较法，∑|un|收敛，即∑un绝对收敛。
因为|vn|≤√(un²+vn²)，所以由正项级数的比较法，∑|vn|收敛，即∑vn绝对收敛。

追问

反过来也成立吗？怎么证明？

追答

反过来也成立，如果∑un与∑vn都绝对收敛，即∑|un|与∑|vn|都收敛，则∑(|un|+|vn|)也收敛。因为|wn|=∑√(un²+vn²)≤|un|+|vn|，由比较法，∑|wn|收敛，所以∑wn绝对收敛。