Question

设lim n→无穷An＝a 证明：lim n→无穷（A1+A2+...+An）/n=a

Answer 1

要用极限的定义来证明
limAn＝a, 对ε，存在N，n>N,|An-a|<ε
|(A1+A2+...+An)/n-a|
《（|A1-a|+|A2-a|+...+|AN-a|+...+|An-a|)/n
因为N是定数，lim(|A1-a|+|A2-a|+...+|AN-a|)/n=0，
存在M，n>M时,(|A1-a|+|A2-a|+...+|AN-a|)/n<ε
于是：
|(A1+A2+...+An)/n-a|
《（|A1-a|+|A2-a|+...+|AN-a|+...+|An-a|)/n
<ε+(n-N)ε/n=2ε
所以：lim(A1+A2+...+An)/n=a

Answer 2

这题用极限的定义做
由lim [(n→+∞)，An]＝a
则对任意的 ε＞0，存在正整数 N＞0 使得当 k＞N 时有 ｜Ak-a｜＜ε，
现在我们来证明：

由｜Ak-a｜＜ε，得a-ε＜Ak＜a+ε,则有（n-k+1）(a-ε)＜Ak+a[k+1]+……+An＜（n-k+1）(a+ε)
（n-k+1）(a-ε)/n＜（Ak+A[k+1]+……+An）/n＜（n-k+1）(a+ε)/n
整理得｜（Ak+A[k+1]+……+An）/n-a+(k-1)(a-ε)/n｜＜ε，取极限得到
｜（Ak+A[k+1]+……+An）/n-a｜＜ε

0＜｜(A1+A2+……+An)/n-a｜
=｜(A1+A2+……+A[k-1])/n+(Ak+A[k+1]+……+An)/n-a｜ ,
＜｜(A1+A2+……+A[k-1])/n｜+｜(Ak+A[k+1]+……+An)/n-a｜
｜(A1+A2+……+A[k-1])/n｜取极限得0，而｜(Ak+A[k+1]+……+An)/n-a｜取极限得
｜（Ak+A[k+1]+……+An）/n-a｜＜ε，从而有
0＜｜(A1+A2+……+An)/n-a｜＜ε，从而(A1+A2+……+An)/n的极限为a