Question

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°。动点P、Q同时从点A出发，其中P以4m/s的速度

Answer 1

（1）
若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2√3t.
则
APAQ＝4t/2√3t＝2√3/3
，
又
∵
AO＝10√3，AB＝20，∴
ABAO＝20/10√3＝2√3/3
∴
APAQ＝AB
AO
又
∠CAB＝30°，∴
△APQ∽△ABO
∴
∠AQP＝90°，即PQ⊥AC
当5＜t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO
可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC
∴
在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.
（2）①
如图，在RtAPM中，易知AM＝8√3t/3，又AQ＝2√3t，
QM＝20√3－4√3t
由AQ＋QM＝AM
得2√3t＋20√3－4√3t＝8√3t/3
解得t＝30/7
∴
当t＝30/7时，点P、M、N在一直线上.
②
存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.
∴
MH＝2NH，得
20√3－4√3t－2√3t/3＝2×8√3t/3
解得t＝2
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.
∴
MH＝2PH，同理可得t＝
20/3
故
当t＝2或
20/3
时，存在以PN为一直角边的直角三角形