Question

高中数学 证明不等式：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+......+(n/n)^n<e/(e-1)

证明不等式：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+......+(n/n)^n<e/(e-1)
n属于正整数，求高中生可看懂的解析.....

Answer 1

先证明 对于任意x≠0，1+x<e^x。
设f(x)=e^x-（x+1），
则f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0，得x=0。
故当x<0时，f(x)递减；
　当x>0时，f(x)递增。
故f(x)>f(0)=1>0，即1+x<e^x。

而1/n=1-(n-1)/n，2/n=1-(n-2)/n，……，(n-1)/n=1-1/n，
则1/n<e^(-(n-1)/n)，(1/n)^n<e^(-(n-1))=(1/e)^(n-1)，
……，
(n-1)/n<e^(-1/n)，((n-1)/n)^n<e^-1=(1/e)^1
当n=1时，1<e/(e-1)，成立；
当n>1时,
原式<(1/e)^(n-1)+(1/e)^(n-2)+....+(1/e)+1
=1+(1/e)+...+(1/e)^(n-1)
=[1-(1/e)^n]/(1-(1/e))
<1/(1-1/e)
=e/(e-1)

证毕。

Answer 2

因e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1=1-e^-n/1-e^-1＜1/1-e^-1=e/(e-1),用到了等比数列求和

只需证明：：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+......+(n/n)^n＜e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1

即(n-i/n)^n＜e^-i,i=1,2……n-1,即(1-i/n)＜e^(-i/n),i=1,2……n-1①

对于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．(f（x）=e^x-x,f′（x）=e^x-1

令f'（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1)

 

当x=-i/n时，①成立，故原不等式成立。