高中数学,函数的根或零点问题 已知函数f(x)=1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…+x
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最小值是2其中a≤-1,b≥1所以b-a的范围是[2,正无穷大),所以b-a的最小值是2
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F(x)=0等价于f(x)=0或g(x)=0
∵f'(x)=1-x+x²-x³-...+x^2010,∴f'(-1)=2011>0
而x>-1时,f'(x)=(1+x^2011)/(1+x)>0
x<-1时,f'(x)=(1+x^2011)/(1+x)>0
∴在R上恒有f'(x)>0,即f(x)在R上是严格单增的
∴f(x)=0只有一个零点,而f(-1)=1-1-1/2-1/3-...-1/2011<0,f(0)>0
∴f(x)=0的零点∈(-1,0),
而g(x)=2-f(x),∴g(x)在R上是严格单减的,即g(x)=0也只有一个零点
而g(1)=(1/2-1/3)+(1/4-1/5)...+(1/2010-1/2011)>0
g(2)=(1-2)+(4/2-8/3)+(16/4-32/5)+...+(2^2010/2010-2^2011/2011)<0
∴g(x)=0的零点∈(1,2)
∴F(x)=0全部只有两个零点∈(-1,0)∪(1,2)
∴a≤-1,b≥2,即b-a的最小值为2-(-1)=3
∵f'(x)=1-x+x²-x³-...+x^2010,∴f'(-1)=2011>0
而x>-1时,f'(x)=(1+x^2011)/(1+x)>0
x<-1时,f'(x)=(1+x^2011)/(1+x)>0
∴在R上恒有f'(x)>0,即f(x)在R上是严格单增的
∴f(x)=0只有一个零点,而f(-1)=1-1-1/2-1/3-...-1/2011<0,f(0)>0
∴f(x)=0的零点∈(-1,0),
而g(x)=2-f(x),∴g(x)在R上是严格单减的,即g(x)=0也只有一个零点
而g(1)=(1/2-1/3)+(1/4-1/5)...+(1/2010-1/2011)>0
g(2)=(1-2)+(4/2-8/3)+(16/4-32/5)+...+(2^2010/2010-2^2011/2011)<0
∴g(x)=0的零点∈(1,2)
∴F(x)=0全部只有两个零点∈(-1,0)∪(1,2)
∴a≤-1,b≥2,即b-a的最小值为2-(-1)=3
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