Question

高中数学，函数的根或零点问题 已知函数f（x）=1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…+x

Answer 1

最小值是2其中a≤-1,b≥1所以b-a的范围是[2,正无穷大)，所以b-a的最小值是2

Answer 2

F(x)=0等价于f(x)=0或g(x)=0
∵f'(x)=1-x+x²-x³-...+x^2010，∴f'(-1)=2011>0
而x>-1时，f'(x)=(1+x^2011)/(1+x)>0
x<-1时，f'(x)=(1+x^2011)/(1+x)>0
∴在R上恒有f'(x)>0，即f(x)在R上是严格单增的
∴f(x)=0只有一个零点，而f(-1)=1-1-1/2-1/3-...-1/2011<0，f(0)>0
∴f(x)=0的零点∈(-1，0)，
而g(x)=2-f(x)，∴g(x)在R上是严格单减的，即g(x)=0也只有一个零点
而g(1)=(1/2-1/3)+(1/4-1/5)...+(1/2010-1/2011)>0
g(2)=(1-2)+(4/2-8/3)+(16/4-32/5)+...+(2^2010/2010-2^2011/2011)<0
∴g(x)=0的零点∈(1,2)
∴F(x)=0全部只有两个零点∈(-1,0)∪(1,2)
∴a≤-1，b≥2，即b-a的最小值为2-(-1)=3