证明矩阵（A+B）(A-B)＝A²＋B²的充要条件是AB＝BA
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首先(a+b)(a-b)=(a+b)a-(a+b)b=a²+ba-ab-b²
证明ab=ba
=>
(a+b)(a-b)=a²-b²
∵
ab=ba，∴ba-ab=0（零矩阵）
于是
a²+ba-ab-b²=a²-b²
即(a+b)(a-b)=a²-b²
证明(a+b)(a-b)=a²-b²
=>
ab=ba
由∵(a+b)(a-b)=a²+ba-ab-b²=a²-b²
∴
ba-ab=0
于是
ba=ab
综上述(a+b)(a-b)=a²-b²的充要条件是ab=ba
证明ab=ba
=>
(a+b)(a-b)=a²-b²
∵
ab=ba，∴ba-ab=0（零矩阵）
于是
a²+ba-ab-b²=a²-b²
即(a+b)(a-b)=a²-b²
证明(a+b)(a-b)=a²-b²
=>
ab=ba
由∵(a+b)(a-b)=a²+ba-ab-b²=a²-b²
∴
ba-ab=0
于是
ba=ab
综上述(a+b)(a-b)=a²-b²的充要条件是ab=ba
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