Question

已知椭圆x²／a²+y0²／b²=1(a>b>0)的离心率为05,其左焦点F1到点P(2,1)的距离为根10.

（1）求椭圆方程
（2）过右焦点F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则三角形F1MN内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

e=0.5 c^2=a^2-b^2
F1(-c,0)
F1P^2=(-C-2)^2+1=10 ...(1)
C^2+4C+5=10
C^2+4C-5=0
C=1
a^2-b^2=1 ...(2)
e^2=c^2/a^2 =(a^2-b^2)/a^2=1-b^2/a^2=1/4 ...(3)
由(2)(3)得1-(a^2-1)/a^2=1/4
1-1+1/a^2=1/4
1/a^2=1/4 a^2=4
a=2
b^2=3
b=根号3
(1)x^2/4+y^2/3=1
(2)F2(1,0)
直线MN:y=k(x-1)
x^2/4+k^2(x^2-2x+1)/3=1
x^2(1/4+k^2/3) -2k^2/3 *x +k^2/3-1=0
x1+x2=2k^2/3 /(1/4+k^2/3) x1*x2=(k^2/3-1)/(1/4+k^2/3)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4k^4/9 /(1/4+k^2/3)^2 -4(k^2/3-1)/(1/4+k^2/3)
(y1-y2)^2=k^2(x1-x2)^2
ly1-y2l=klx1-x2l

又MF2+MF1=NF2+NF1=2a=4
所以MF2+MF1+NF2+NF1=MN+MF1+NF1=8
p=1/2(MN+MF1+NF1)=4
又三角形MNF1面积=rp=4r (r为内切圆半径)
=1/2*F1F2*ly1-y2l=1/2*2*ly1-y2l
r=ly1-y2l/4 =klx1-x2l/4 =k/4*根号(4k^4/9 /(1/4+k^2/3)^2 -4(k^2/3-1)/(1/4+k^2/3))
=k/(1+4k^2/3) *根号(4k^4/9 -4(k^2/3-1)(k^2/3+1/4))
=k/（1+4k^2/3）*根号(4k^4/9 -4k^4/9 -k^2/3 +4k^2/3+1)
=k/(1+4k^2/3) *根号(k^2+1)
r^2=k^2/(1+4k^2/3)^2 *(k^2+1)
=(k^4+k^2)/(1+4k^2/3)^2
=9(k^4+k^2)/(16k^4+24k^2+9)
=9/16 *(k^4+k^2)/(k^4+3/2 k^2+9/16) 令k^2=t
=9/16 (t^2+t)/(t^2+3t/2+9/16)
=9/16(t^2+3t/2 +9/16 -t/2-9/16)/(t^2+3t/2+9/16)
=9/16 -(t/2+9/16)/(t^2+3t/2+9/16)
显然上式可得最大值r