Question

已知函数f(x)=x-1+a/e∧x(a属于R,e为自然对数的底数)(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴求...

已知函数f(x)=x-1+a/e∧x(a属于R,e为自然对数的底数)(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴求a的值，(2)求曲线f(x)的极值

Answer 1

1)
f'(x)=1-a/e^x
由题意，f'(1)=1-a/e=0，得a=e

2)f'(x)=1-a/e^x
当a<=0时，有f'(x)>0,无极值；
当a>0时，由f'(x)=0得极值点x=lna,此为极小值
f(lna)=lna-1+a/a=lna为极小值。

Answer 2

（Ⅰ）由f（x）=x-1+
a
ex
，得f′（x）=1-
a
ex
，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1-
a
e
=0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1-
a
ex
，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（-∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，
x∈（-∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．