Question

一个四边形满足。它的每个顶点到其他三个顶点的距离之和相等。实证明该四边形为矩形

Answer 1

这个题
有趣]证明（画图标上小写字母可得，四边为a,b,c,d,CF对角线为e，f）
由题意可得a+d+e=d+c+f=c+b+e=b+a+f
所以，d+e=b+f

d+f=b+e
两式相加得2d=2b
所以对边相等，同理可证另一对边也相等
此四边形一定是平行四边形
由上式还可得a+e=c+f
e=f
所以，对角线相等的平行四边形为矩形

Answer 2

以A点的角度看，S=AB•AD•AC…①
以B点的角度看，S=BA•BD•BC…②
以C点的角度看，S=CA•CB•CD…③
以D点的角度看，S=DA•DB•DC…④
由②、④得AB•BC=AD•CD…（1）
由①、③得BC•CD=AB•AD…（2）
由（1）÷（2）得，
AB
CD
=
CD
AB
，
∴CD2=AB2，即CD=AB，
同理可得：BC=AD，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形