Question

已知在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为边AB的中点，∠EDF=90°

如图，已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度，角EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，当角EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E时，易证S三角形DEF＋S三角形CEF＝1/2S三角形ABC，当角EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S三角形DEF、S三角形CEF、S三角形ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。 图如下

Answer 1

S△DEF+S△CEF= 12S△ABC 仍然成立．
证明：当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，
连接CD．∵Rt△ABC中，AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形．
又∵D为AB边的中点，
∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△BCD= 12S△ABC，
得证．

当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时：
猜想 S△DEF+S△CEF= 12S△ABC，
证明：连接CD，
同理易得△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S四边形DECF=S△CDE+S△CDF=S△DBF+S△CDF=S△BCD，
又S△BCD= 12S△ABC，
则S△DEF+S△CEF= 12S△ABC．
故答案是：S△DEF+S△CEF= 12S△ABC，S△DEF+S△CEF= 12S△ABC．