Question

数学问题 对了追加给分

已知定义在R上的函数f(x)=2x+a/2x(a为常数）
（1）若f(x)为偶函数，求a值。
（2）当f(x)满足（1）的条件时，用单调性的定义判断函数在[0，+无穷大]上的单调性，并猜想f(x)在（-无穷大，0）上的单调性，不必证明。
已知函数f(x)=lg(3+x)+lg(3-x).
(1)求函数f(x)的定义域；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由

求不等式（1／a)x^2-8>a^-2x成立的x的集合（其中a>0,且a不等于1）
已知函数f(x)=log2^(x+1),g(x)=log2^(3x+1),
(1)求出使g(x)大于等于f(x)成立的x的取值范围；
(2)在（1）中的范围内求y=g(x)-f(x)的最小值

已知函数f(x)=lg(1-x/1+x)
(1) 求证 f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy)
(2) 若f(a+b/1+ab)=1 f(a-b/1-ab)=2 求f(a)和f(b)的值

Answer 1

（1）因为f(x)定义在R上，且为偶函数，显然有f（1）=f（-1），即 2+a/2= - 2 - a/2,解得a=－4.
（2）当a=-4时，f(x)=2x+(-4)/2x=2x-2/x，显然f(x)在x=0处无定义，因此f(x)在半开区间[0，+∞)上不是单调函数.
猜想：因为f(x)在开区间（-∞，0）上有定义，且为连续函数，它在该区间是单调递增的函数.

补充题：
（1）由3+x＞0和3-x＜0得-3＜x＜3，因此函数f(x)的定义域为（-3, 3).
（2）因为f(-x)=lg[3+（-x）]+lg[3-（-x）]=lg(3-x)+lg(3+x)=f(x).
所以函数f(x)=lg(3+x)+lg(3-x)是偶函数.

（1）由对数定义知：x+1＞0，3x+1＞0，解得函数f(x)的定义域为（-1，+∞），函数g(x)的定义域为（-1/3，+∞）又因对数的底数为2，那么f(x)和g(x)都是增函数，要使g(x)≥f(x)成立，必须3x+1≥x+1，解得x≥0，而[0，+∞) 在f(x)和g(x)的定义域内 ，符合题意，因此 要使g(x)≥f(x)成立，x的取值范围是[0，+∞).
（2）当x≥0时，y=g(x)-f(x)= log2^(3x+1)- log2^(x+1)=log2＾(3x+1/x+1)=log2＾[1+(2x)/(x+1)]又因对数的底数为2，那么y=g(x)-f(x)= log2＾[1+(2x)/(x+1)]是增函数，因此，要y的值最小，必须1+(2x)/(x+1)的值最小.当(2x)/(x+1)=0，即当x=0时，真数1+(2x)/(x+1)有最小值1，y=g(x)-f(x)=0.也就是说，当x=0时，函数y=g(x)-f(x)有最小值1.
（1）证：f(x)+f(y)=lg(1-x/1+x)+lg(1-y/1+y)
=lg[(1-x/1+x)(1-y/1+y)]
=lg[(1-x-y+xy)/(1+x+y+xy)]
=lg[1-(x+y/1+xy)] ／[1+(x+y/1+xy)]
=f(x+y/1+xy).
（2）题目太多，没时间了，剩下这个题目以后再说吧.

Answer 2

1。f(x)为偶函数
f(x)=f(-x) 代入
2。取x1,x2，[0，+无穷大]，且x1<x2
f(x1)<f(x2)，那么函数为增，f(x1)>f(x2)，那么为减
在（-无穷大，0）相反

Answer 3

(1)因为f(x)定义域为x属于R
所以a=0
（2）f(x)=2x+a/2x=2x
所以f(x)在【0，+无穷） 单调向上
又因为f(x)为偶函数
所以在（-无穷，0）为单调向下

Answer 4

f(x)=2x+a/2x(a为常数）不可能是偶函数，原题错

追问

是2^x a/2^x

Answer 5

题目是不是漏了一个负号，