Question

求一高数高手啊啊啊！！！速来

若f(x)，g(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,且g(x)≠0，试证明(a,b)内存在§ 使[f(a)-f(ξ)]/[g(ξ)-g(b)]=f'(ξ)/g'x)

Answer 1

这是柯西中值定理吧
先知道罗尔定理
若f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导，f(a)=f(b),则(a,b)内存在§,f'(ξ)=0
有了罗尔定理，我们做辅助函数h(x)=f(x)-([f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)])*)[g(x)-g(a)]
h(a)=h(b),所以(a,b)内存在§使他的导数为零，将右边式子求导即可
f‘(ξ)-([f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)])*)g’(x)=0
证毕
罗尔定理可用连续函数证明
需要我给出吗

追问

感觉好多的样子，有更简单的方法吗？
罗尔定理我是明白的

追答

这是我知道最简单的证明了
再给你一种类似的
根据拉格朗日中值定理, 我们易知有下列命题
成立:
命题[1] 设函数f( x) 在( a, b) 内可导,"x∈( a, b) ,
f′( x) >0( f′( x) <0) , 则f( x) 在( a, b) 内严格单调增加
( 单调减少) .
下面证明柯西中值定理.
证明构造辅助函数
F( x) =[g( b) - g( a) ]f( x) - [f( b) - f( a) ]g( x)
显然F( x) 在[a, b]上连续, 在( a, b) 内可导,
且F( a) =F( b) .现要证明#ξ∈( a, b) , 使F′( ξ) =0.
若否, 则由达布定理知, 对"ξ∈( a, b) , F′( ξ) 恒大于
0 或恒小于0.从而由命题知, F( x) 在( a, b) 内严格单
调, 故F( a) ≠F( b) , 与条件“F( a) =F( b) ”矛盾.
故#ξ∈( a, b) , 使F′( ξ) =0, 即
f′( ξ)/g′( ξ)=[ f( b) - f ( a)]/[g( b) - g( a)]
成立
(#为存在的意思）

还有其他的证明，要看吗，但是有些烦