Question

已知函数f (x)=cosx,求此函数的傅里叶级数

Answer 1

为方便计，
将函数拓广为：f(x)=2+|x|,
x属于[-pi,pi]。
将此f拓广为R
上的周期为2pi的周期函数。此函数连续，所以其傅立叶级数收敛于
f(x):
傅里叶级数
f(x)=a0/2
+
a1cosx+b1sinx
+
a2cos2x
+
b2sin2x
+
...+ancosnx+bnsinnx+...
因为
f(x)是偶函数，
所以
bn
=
0
a0
=
1/pi
积分（-pi
到
pi）f（x)dx
=
2/pi积分（0
到
pi）(2+x)dx=4+pi
an
=1/pi积分（-pi
到
pi）f（x)cosnxdx
=
2/pi积分（0
到
pi）(2+x)cosnx
dx
---
通过分部积分
=0
如果
n
是偶数
=
-4/(pi*n^2)
如果
n
是奇数
所以
f(x)=
2+pi/2
-
4/pi(cosx
+
cos3x
/
3^2
+
...+
cos(2n+1)x
/(2n+1)^2+...)

Answer 2

由三倍角公式，cos³x=(3cosx+cos3x)/4
故f(x)=cos³x=(3/4)cosx+(1/4)cos3x
这就是它的傅里叶展开式，只有2项。