Question

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是BB1，D1B1的中点,求证,EF⊥DA1

Answer 1

证：不妨设正方体的棱长为2a
以D为坐标原点建立空间坐标系
则：D(0,0,0)，A1(2a,0,2a)，B(2a,2a,0)，B1(2a,2a,2a)，D1(0,0,2a)
E,F分别是BB1，D1B1的中点
则：E(2a,2a,a)，F(a,a,2a)
向量EF=(-a,-a,a)，向量DA1=(2a,0,2a)
向量EF*向量DA1=-2a²+2a²=0
所以，向量EF⊥向量DA1
即EF⊥DA1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

为什么要设2a呢?

追答

方便，以免出现分数，其实可以直接设棱长是2的

Answer 2

证明：连接AD1,可知：A1D⊥AD1，又AB⊥面AA1D1D得：A1D⊥AB，
故：A1D⊥面ABD1，所以DA1⊥BD1，而EF∥BD1，故：EF⊥DA1.

祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)

Answer 3

证明：连接BD1、AD1
∵E,F分别是BB1，D1B1的中点，∴EF∥BD1
又BA⊥平面ADA1D1，所以AD1为BD1在平面ADA1D1上的射影。
∵正方形ADA1D1，所以AD1⊥DA1 ，∴BD1⊥AD1（三垂线定理）
∴EF⊥AD1