Question

已知园Ox^2+y^2=1和点M(1,4) (1)过点M向园O引切线求切线方程

(2)求一点M为圆心，且被直线y=2x-8截得的弦长为8的圆M的方程
(3)设p为(2)中圆M上任意一点，过点p向圆O引切线，切点为Q。试探究：平面内是否存在一丁点R，使得
PQ/PR为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由。
答案：(1)x=1或15x-8y+17=0 (2)(x-1)^2+(y-4)^2=36 (3)R(-1,-4) 定值根号下2/2或R（-1/17,-4/17)定值？

Answer 1

设切线方程 y-4=k(x-1)
kx-y+4-k=0

圆心0,0，切线到圆心距离R,利用点线距离公式
|4-k|/根号(k²+1)=r
(4-k)²/(k²+1)=1²
16-8k+k²=k²+1
15-8k=0
k=15/8

y-4=15(x-1)/8
8(y-4)=15(x-1)
15x-8y+17=0

另一条切线是x=1

2)
2x-y-8=0
弦心距
|2-4-8|/根号(5)=10/根号5=2根号5
半弦长4
r²=20+16=36
(x-1)²+(y-4)²=36
3)

xp,yp为p点坐标
根据勾股定理
xp²+yp²=1²+PQ²

(xp-1)²+(yp-4)²-1-17+2xp+8yp=PQ²
18+2xp+8yp=PQ²

PR²=(xp-xr)²+(yp-yr)²
=xp²-2xrxp+xr²+yp²-2ypyr+yr²
=xp²-2xp+1+yp²-8yp+16 -17+(2-2xr)xp+(8-2yr)yp+xr²+yr²
=19+(2-2xr)xp+(8-2yr)yp+xr²+yr²

2/(2-2xr)=8/(8-2yr)=18/(19+xr²+yr²)
4(1-xr)=(4-yr)
4-4xr=4-yr
yr=4xr

(19+xr²+16xr²)=18(1-xr)
1+17xr²+18xr=0
(17xr+1)(xr+1)=0

xr,yr=(-1/17.-1/4)
or
xr,yr=(-1,-4)

PQ²/PR²=1/(1-xr)

=17/18
or
=1/2

PQ/PR=根号17/3根号2=根号(34)/6
or =根号(2)/2