Question

已知圆O：x2+y2=1和点M（1，4）．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程...

已知圆O：x2+y2=1和点M（1，4）． （1）过点M向圆O引切线，求切线的方程； （2）求以点M为圆心，且被直线y=2x-8截得的弦长为8的圆M的方程； （3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：x=1，为圆O的切线； …（1分）
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
∴圆心O到切线的距离为：|-k+4|k2+1=1，解得：k=158
∴直线方程为：15x-8y+17=0．
综上，切线的方程为：x=1或15x-8y+17=0…（4分）
（2）点M（1，4）到直线2x-y-8=0的距离为：d=|2-4-8|5=25，
又∵圆被直线y=2x-8截得的弦长为8，
∴r=(25)2+42=6…（7分）
∴圆M的方程为：（x-1）2+（y-4）2=36…（8分）
（3）假设存在定点R，使得PQPR为定值，设R（a，b），P（x，y），PQ2PR2=λ
∵点P在圆M上，∴（x-1）2+（y-4）2=36，则x2+y2=2x+8y+19…（10分）
∵PQ为圆O的切线，∴OQ⊥PQ，
∴PQ2=PO2-1=x2+y2-1，PR2=（x-a）2+（y-b）2，
∴x2+y2-1=λ[（x-a）2+（y-b）2]，即2x+8y+19-1=λ（2x+8y+19-2ax-2by+a2+b2）
整理得：（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a2λ-b2λ）=0（*）
若使（*）对任意x，y恒成立，则2-2λ+2aλ=08-8λ+2bλ=018-19λ-a2λ-b2λ=0…（13分）
∴a=λ-1λb=4λ-4λ，代入得：18-19λ-(λ-1λ)2λ-(4λ-4λ)2λ=0
整理得：36λ2-52λ+17=0，解得：λ=12或λ=1718∴λ=12a=-1b=-4或λ=1718a=-117b=-417
∴存在定点R（-1，-4），此时PQPR为定值22或定点R(-117，-417)，此时PQPR为定值346．…（16分）