Question

已知x,y是实数且x2+y2-4x-6y+12=0，求x+y的最值，求x-y的最值

Answer 1

解：x2+y2-4x-6y+12=0即(x-2)²+(y-3)²=1
∴该圆的圆心为C(2,3),半径为R=1
设O：x²+y²=1，l1：x+y=z，l2：x-y=t，则
l1与圆O的切点为(√2/2,√2/2),(-√2/2,-√2/2);
l2与圆O的切点为(√2/2,-√2/2),(-√2/2,√2/2).
∴l1与圆C的切点为(2+√2/2,3+√2/2),(2-√2/2,3-√2/2);
l2与圆C的切点为(2+√2/2,3-√2/2),(2-√2/2,3+√2/2).
因此目标函数x+y=z取得最小值时的最优解为(2-√2/2,3-√2/2)，
[x+y]最小=(2-√2/2)+(3-√2/2)=1-√2;
取得最大值时的最优解为(2+√2/2,3+√2/2)，
[x+y]最大=(2+√2/2)+(3+√2/2)=5+√2.
目标函数x-y=t取得最大值时的最优解为(2+√2/2,3-√2/2)，
[x-y]最大=(2+√2/2)-(3-√2/2)=-1+√2;
取得最小值时的最优解为(2-√2/2,3+√2/2)，
[x-y]最小=(2-√2/2)-(3+√2/2)=-1-√2.