Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,

求证∠ADC=∠BDE

Answer 1

做CH⊥AB于H，交AD于G

∵△ACB是等腰直角三角形,AC=BC

∴∠ACG=∠B=∠DCG=45°

∵CF⊥AD，∠ACD=∠ACB=90°

∴∠DCF与∠ADC互余，∠ADC与∠CAD互余

∴∠DCF=∠CAD

即∠CAG=∠BCE

∵AC=BC，∠ACG=∠B=45°

∴△ACG≌△CBE(ASA)

∴CG=BE

∵∠DCG=∠B=45°

AD是中线，那么CD=BD

CG=BE

∴△CDG≌△BDE(SAS)

∴∠GDC=∠BDE

即∠ADC=∠BDE

 

Answer 2

解：作CH⊥AB于H交AD于P，
∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵BC中点为D，
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，
∴∠PAH=∠PCF．
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．