Question

若函数f（x）的定义域为R，且存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|...

若函数f（x）的定义域为R，且存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数： ①f（x）=x2，②f（x）=sinx+cosx，③f(x)=xx2+x+1，④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2012|x1-x2|，⑤f(x)=x12，其中是F函数的有_____．

Answer 1

解：对于①，∵f（x）=x2，∴|f（x）|≤m|x|不成立，故①不是F-函数；
对于②，∵f（x）=sinx+cosx，∴x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故②不是F函数；
对于③，∵f(x)=xx2+x+1，∴要使|f（x）|≤m|x|成立，
即|xx2+x+1|≤m|x|，
当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥|xx2+x+1|的最大值．
因为x2+x+1=（x+12）2+34≥34，
所以m≥43时，f(x)=xx2+x+1是F函数，故③是F函数；
对于④，∵f（x）是定义在R上的奇函数，
且满足对一切实数x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|，
∴令x1=x，x2=0，由奇函数的性质知，f（0）=0，
故有|f（x）|＜2|x|．故④是F函数．
对于⑤，∵f(x)=x12，∴|f（x）|≤m|x|不成立，故⑤不是F函数．
故答案为：③④．