Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数...

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=4x；②f（x）=x2+2；③f(x)=2xx2-2x+5；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤4|x1-x2|．其中是“条件约束函数”的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

解：对于①，f（x）=4x，易知ω=4符合题意，
①是“条件约束函数”，
对于②，用“条件约束函数”的定义不难发现：因为x→0时，|
f(x)
x
|→∞，
所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，
②不是“条件约束函数”，
对于③，因为|f（x）|=
2|x|
(x-1)2+4
≤
1
2
|x|，
所以存在常数ω=
1
2
＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，
③是“条件约束函数”函数，
对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，
因而由|f（x1）-f（x2）|≤4|x1-x2|得到，|f（x）|≤4|x|成立，
存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意，
④是“条件约束函数”，
故选：C．