Question

高数微分方程问题，会做的有加分

求满足初始条件的特解，y''+y'^2+1=0，y|（x=0）=0，y‘|(x=0)=1
答案是y=ln|cos(π/4-x)|+1+1/2ln2,求过程

Answer 1

答案不对，x=0时，y不等于0，

过程如下
设p=y',则y''=p'
原方程化为
p'+p^2+1=0 (1)
化简 dp/(p^2+1)=-dx，对两边积分
arctan(P)=-x+C1,
由p|(x=0)=1,得，C1=π/4
所以 p=tan(π/4-x)
dy = tan(π/4-x) dx (2)
因为tan(x)的原函数是 -ln(cos x )，则(2)
y = ln(cos(π/4-x)) + C2
由 y|(x=0) = 0

则C2 = ln(√2/2) = 1/2ln2 - ln2
所以 y = ln(cos(π/4-x)) + 1/2ln2 - ln2